Главная | Регистрация | Вход
...
Меню сайта
Форма входа
Категории раздела
СРОЧНО ! ВАЖНО ! [0]
ДОСТОЙНО ВНИМАНИЯ [0]
ЭТО ИНТЕРЕСНО МНЕ, МОЖЕТ И ВАМ? [0]
Поиск
Календарь
«  Ноябрь 2017  »
ПнВтСрЧтПтСбВс
  12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
27282930
Наш опрос
Оцените мой сайт
Всего ответов: 66
Друзья сайта
  • Официальный блог
  • Сообщество uCoz
  • FAQ по системе
  • Инструкции для uCoz
  • Статистика

    Онлайн всего: 1
    Гостей: 1
    Пользователей: 0
    статистика посещений сайта

    Арифметика в Шумере

    Истоки возникновения
    позиционной системы счисления
    в Древней Месопотамии

    ДЖЕЙМС РИТТЕР,

    американский ученый преподает математику и историю науки в Университете Париж—VIII. Область научных интересов — история общей теории относительности, а также «рационалистические методы», существовавшие в Древнем Египте и Месопотамии. Участвовал в подготовке коллективного труда (под ред. Мишеля Серра) "Elements d'histoire des sciences" (Paris 1989).

    Курьер ЮНЕСКО, 1994, январь, стр:10-13


    /EDUCATION/KU1994011013/Sargon.jpg


    Голова царя Саргона, основателя аккадской династии (бронза, 2400—2200 гг. до н. э.).

    КОГДА в последнем столетии ученые наконец поняли письменную систему счисления Древней Месопотамии периода последних двух тысячелетий до нашей эры, они открыли в ней две отличительные черты. Во-первых, жители Месопотамии пользовались уникальной системой с основанием число 60. Во-вторых, в отличие от других известных нам древних народов, они, как и мы сегодня, практиковали позиционную систему записи чисел. Какие только аргументы, объясняющие эти две необычные черты, ни выдвигались! Одни предполагали, что это как-то связано с шумерским календарем; другие видели причину в удобстве числа 60, у которого множество делителей; третьи считали, что объяснение следует искать в психологии самих шумеров. Однако теперь мы знаем, что это обусловлено происхождением и развитием шумерского письма, а точнее, той связью, которая имелась между записями хозяйственной деятельности и письмом, изначально предназначавшимся именно для учета, тогда как сам процесс формирования письменности растянулся на целое тысячелетие.

    Поскольку шумеры для ведения счетов пользовались предметами из глины — весьма долговечного материала, — то мы имеем возможность проследить развитие шумерского письма (а также его развитие в соседних Сузах), сложившегося в конце четвертого — начале третьего тысячелетия. Сначала для счета использовались полые глиняные шары, заполнявшиеся маленькими значками разного размера и формы, на поверхности шаров ставился оттиск цилиндрических печатей. Форма и размер значков сообщали о предмете и представляли собой единицу счета или измерения. Оттиски печати на наружной поверхности шара указывали на владельца или договаривающиеся стороны, а также на чиновника, осуществлявшего контроль.



    Рис. 1. Три способа счисления

    Направление стрелок от знака, обозначающего меньшую единицу счета, к знаку, обозначающему большую единицу счета. Цифра над стрелкой указывает, сколько единиц меньшей величины, выраженных одним знаком, составляют единицу большей величины, выраженную другим знаком. Например, 1 маленький кружок=6 малым засечкам в системе $,10 малым засечкам в системе S и 18 малым засечкам в системе G.

    /EDUCATION/KU1994011013/ChislS.jpg

    Система S

    (шестидесятеричная) — для счета единичных предметов и измерения длины

    /EDUCATION/KU1994011013/ChislG.jpg
    система G
    — меры площади,
    /EDUCATION/KU1994011013/ChislSS.jpg
    а система Ś
    — меры объема.


    В течение следующих нескольких столетий эта система претерпела эволюцию. Сначала значки отпечатывались на поверхности шара и только после этого закладывались внутрь; затем от них отказались и стали пользоваться только их оттисками на поверхности сплющенного шара или таблички; наконец, для нанесения записи на глиняную поверхность начали пользоваться тростниковой палочкой, вытеснившей сами значки.

    Примерно к 3200 г. до н. э. шумерское письмо достигло такого этапа развития, что располагало арсеналом из 30 числовых и 800 нечисловых значков для обозначения пересчитываемых предметов, а также географических и официальных названий.


    Другие системы счета

    В этот период (3200—2800 гг. до н. э.) в Месопотамии практиковалось много различных систем счисления. Среди них встречались системы счета отдельных предметов, определения длин, обмера поверхностей, определения объема зерна (с последующим делением на подсистемы для различных зерен!), измерения времени. В те времена существовало свыше десятка метрологических систем. Три из них представлены на рис. 1.

    В любой из этих систем для обозначения числа практиковалась непозиционная техника с применением принципа сложения, то есть числовой знак использовался столько раз, сколько было величин, обозначаемых этим знаком. Это продемонстрировано на рис. 2 на примере текста, в котором приводится число овец в стаде.


    /EDUCATION/KU1994011013/ShumerSchet.jpg

    Глиняная табличка, использовавшаяся в счетоводстве (Месопотамия, ок. 3000 г. до н. э.).


    Однако, несмотря на большое разнообразие систем, количество числовых знаков, или «цифр», было незначительным. Все знаки, по существу, были образованы из четырех различных символов, выдавленных на глине с помощью палочки из тростника: большого и маленького кругов, а также длинной и короткой засечки (рис. 3). Более того, эти знаки использовались только в определенных комбинациях: или по отдельности (четыре знака), или в комбинации круг+засечка того же размера или круг+круг двух разных размеров — это давало в итоге семь знаков.


    /EDUCATION/KU1994011013/ScotAll.jpg

    Рис. 2. Подсчет поголовья скота

    Объяснение: 2x10+7x1=27 овец и 2x10+5x1=25 баранов

    Всего — 5x10+2x1 =52 головы


    Эти несколько знаков находили разное применение в различных системах: маленький круг равнялся 10 маленьким засечкам в системе для измерения отдельных величин (система S), 6 маленьким засечкам — в системе определения объема (система S) и 18 таким же засечкам — в системе измерения поверхности (система G). Таким образом, «числовые знаки» не имели никакого особого значения, кроме того, что давала им система, в рамках которой они функционировали. Более того, соотношения между соседними знаками — их «относительная ценность» — варьировали от системы к системе. Следовательно, в то время не существовало общего понятия о числе, а имелись только способы счета.

    Начиная примерно с 3200 г. до н. э. в Месопотамии в течение 500 лет появлялись тексты, весьма ограниченные по своему содержанию. Это преимущественно счета, изобилующие числами, записанными в соответствии с разными метрологическими системами, которые дополнены знаками для обозначения пересчитываемых предметов, а также географическими названиями и официальными титулами. Среди них встречаются также несколько школьных текстов, перечни знаков и слов, обозначавших как числительные, так и нечислительные, которые должен был освоить юный ученик писца. Основная задача овладения навыками письма заключалась в подготовке счетоводов. Мысль о том, что письмо можно отделить от счетоводства, чтобы с его помощью фиксировать разговорный язык, — роль письменности, которая нам представляется столь естественной, — эволюционировала крайне медленно, на что ушло без малого 500 лет.


    Двойная эволюция

    Приблизительно в 2600 г. до н. э. растущие города-государства, входившие в состав Древнего Шумера, достаточно окрепли и разбогатели для развития письменности, до этого встречавшейся всего в нескольких местах, и ее распространения по всей южной Месопотамии.

    Одна из реформ, проводимых в этот период консолидации, коснулась метрологических систем. Их число было сокращено с десятка до нескольких: для определения дискретных величин и линейных мер, для измерения площади и объема. К ним была добавлена еще одна — для измерения веса. Вместо того чтобы изобретать новые «цифры» для обозначения величин в этой системе, было решено использовать «цифры» системы определения единичных предметов, снабдив их названиями единиц веса. Система оказалась настолько удобной, что названия единиц веса и их относительные значения были перенесены на метрологическую систему измерения поверхностей для обозначения небольших площадей.

    Эта идея — именовать единицы измерения — стала одним из главных нововведений этого периода и не ограничивалась лишь системой весов и ее производными. Отныне собстрённые названия получали и крупные единицы длины и объема. Писец изображал числовой знак+ «bur» для измерения площади поверхности и числовой знак+«nindan» для определения длины. Как только названия единиц были зафиксированы на письме, сразу стало возможным определять, какие именно измерения были проведены. Отныне писцы Месопотамии должны были повсеместно практиковать этот новый метод.

    Другая важная перемена, происшедшая в этот период, коснулась написания чисел. Когда речь шла о площадях, знак (указанный под буквой А) вытеснил прежний знак (под буквой В, рис. 4), при этом внешняя из двух концентрических окружностей была заме-нена четырьмя перечеркнутыми клиновидными штрихами (от лат. «cuneus» — «гвоздь» или «клин»). Это — всего лишь один пример растущей «клинонизации» письма (включая и числовые знаки), характерной для той эпохи. Изогнутые выдавленные линии прежнего полупиктографического письма, с трудом поддававшиеся воспроизведению на глине, уступили место более скоростному и простому способу нанесения надписей с помощью тростниковой палочки. Этот вид письма, робко обозначивший свое появление еще в предыдущий период, теперь получил стремительное распространение, фактически вытеснив к концу тысячелетия прежние округлые обозначения чисел.


    Скоропись

    Период 2350—2200 гг. до н. э. ознаменовался появлением первой могущественной империи на территории Месопотамии, созданной аккадцами, которые говорили на одном из семитских языков. Два новшества, введенных в Аккадской империи, которая в период своего расцвета и могущества простиралась от Персидского залива до Сирии и Ливана, также сыграли решающую роль в развитии метрологии и письма.


    /EDUCATION/KU1994011013/Pict03.jpg
    /EDUCATION/KU1994011013/Pict05.jpg
    /EDUCATION/KU1994011013/Pict04.jpg
    /EDUCATION/KU1994011013/Pict06.jpg


    Системы единиц измерения, унаследованные от предыдущей эпохи, были упорядочены и приведены в соответствие друг с другом. Хотя сложность прежних способов счета не была до конца изжита, соотношения между единицами измерения постепенно стабилизировались вокруг постоянных значений. Более того, система чисел, использовавшаяся для подсчета единичных предметов, стала широко применяться и для других . видов измерений, дополняемая названиями различных единиц.

    В то же время прежние числа, обозначенные буквами С и D, были заменены Е и F (рис. 5). Медленное шествие клинописи продолжалось. Эти изменения, продиктованные необходимостью эффективного решения растущего числа государственных задач в Аккадской империи, носили двойственный характер. Конечно, проще и быстрее было писать новые клинообразные числа, чем прежние, закругленные по форме, но за скоропись пришлось платить, у Графически различие между маленькой величиной и той, что превышала ее в 60 раз, было весьма незначительным и заключалось в более крупной «головке», с которой начинался простой вертикальный штрих. При быстром написании и  прочтении например, чисел 61 и 2 между ними не было никакой разницы (рис. 6), что составляло теперь главную проблему. Решая эту задачу, писцы Месопотамии, вероятно, в аккадский или более поздний период, использовали эту путаницу для создания позиционной системы.

    /EDUCATION/KU1994011013/Pict07_1.jpg

    /EDUCATION/KU1994011013/Pict07_2.jpg

    Всего: 11/2 mana 31/2 gin минус 7se серебра

    Столбец 1 (крайний справа):0+50+40+20=60+50 — 50 пишем, 1 в уме, Столбец 2: 54+56+43+53+1 (в уме)=207=Зх60+27 — 27 пишем, 3 в уме. Столбец 3:14+29+17+30+3 (в уме)=93=60+33 — 33 пишем, 1 в уме. Всего: 1 33 27 50

    Итак, 1 mana=60 gin=100 gin (с основанием 60), а 1 se=1/180 gin=0;00 20 gin (с основанием 60): 1 33 27 50=1 33; 27 50 gin=1 mana+33 gin+83 se (округленно, 83 se=0;27 40 gin) или, пользуясь более традиционным способом записи, 1V2 mana (=1 mana 30 gin)+3V2 gin (=3 gin 90 se) — 7 se



    Рис. 8. Шестидесятеричная система счисления

    В десятичной позиционной системе, которой пользуемся мы, применяются девять цифр —1,2,3... 9 и еще 0; значение цифры в составе числа определяется тем, какое место занимает в нем эта цифра. Каждое место символизирует собой число 10, воз-веденное в определенную степень. Таким образом, в числе 161 крайняя справа цифра 1 — это единица, крайняя слева цифра 1 — это сотня, а цифра 6 выражает шесть десятков, то есть:

    161=100+60+1=1 Х100+6х10+1х1=1х102+6х101+ 1x10°.


    В шестидесятеричной системе с основанием 60 имеется 59 цифр (нуль представляется пустым местом). Таким образом, число, написанное путем помещения рядом трех клинописных цифр, представляющих 29, 56 и 50, может быть переведено в десятичную систему следующим образом:

    29х602+56х601+50х600=29х3600+56х60+50х 1 = 104400+3360+50=107810.

    Нетрудно заметить, что именно по такой шестидесятеричной системе мы считаем время: 29 часов 56 минут 50 секунд =29x3600+56x60+50= 107810 секунд.



    Рождение позиционной записи


    /EDUCATION/KU1994011013/Pict09_1.jpg


    Z /EDUCATION/KU1994011013/Pict09_2.jpg


    Рис. 9. Месопотамский «нуль»

    В современной системе записи чисел нуль имеет две главные функции:

    — самостоятельного числа. Например, можно приу­бавить нуль к пяти, получив при этом пять;

    — знака в составе числа. Так, запись числа 5020 означает, что в нем 5 тысяч, нуль сотен, 2 десятка и нуль единиц.

    В Месопотамии так и не дошли до концепции нуля как особого числа. Тем не менее потребность обозначить пустые места в определенном разряде внутри числа существовала, и для этого прибегали к двум разным методам.

    Первый, применявшийся со времени изобретения позиционной записи чисел в конце третьего тысячелетия до н. э. вплоть до конца первого тысячелетия до н. э., состоял в том, чтобы оставить в записи числа пустое место, показывая тем самым, что в данном разряде шестидесятеричной системы единиц нет. К примеру, число 3 22 (3 раза по шестьдесят и 22 единицы) записывалось, как показано на примере Y (вверху), тогда как 3 00 22 (3 раза по три тысячи шестьсот, нуль раз по шестьдесят и 22 еди-ницы) писалось, как показано на примере Y (внизу). На самых поздних стадиях существования месопотамской цивилизации, в эпоху Селевкидов (начиная с конца 4 в. до н.э.), в частности в текстах по астрономии, встречается другой метод, использующий письменный знак, обозначающий нуль. Согласно этому методу шестидесятеричное число 3 00 22 записывалось в ту эпоху, как показано на примере Z.


    После периода упадка Аккадской империи в Месопотамии возникло новое централизованное государство. Город-государство Ур преуспело в создании новой империи, которая называлась Третьей династией Ур, или Ур III. Один-единственный текст (рис. 7) из более чем 100 тыс. письменных памятников этого периода дает нам представление о технической и концептуальной революции, происшедшей во времена Ур III и в предшествовавшую ей аккадскую эпоху. Этот текст о поставке серебра, в общем-то, ничем не примечателен, за исключением одной детали: писец оставил математические расчеты, сделанные при его составлении. Запись этих расчетов показывает нам, что уже к моменту возникновения империи Ур III существовала полная позиционная система с основанием 60. В первые четыре строки писец внес вес четырех отдельных поставок серебра, пользуясь позиционной шестидесятеричной системой, в которой каждый разряд был равнозначен 60, при этом числа имели значение от 1 до 59 (рис. 8). Знаки, с помощью которых записывались эти 59 чисел, образовывались от первых двух знаков клинописи для счета предметов: клин для величины 10 и черточка для единицы (рис. 9). Пустое место в числе обозначало месопотамский «нуль» (рис.9). В последней строке писец перевел сумму четырех поступлений в традиционную систему измерения веса.


    /EDUCATION/KU1994011013/Pict10.jpg

    Рис.10


    Как видно из этого примера, упоминавшаяся выше путаница, возникшая при написании 61 и 2, была преодолена через ее фактическое признание. Отныне больше не существовало разницы в написании этих знаков. В обоих случаях один и тот же знак использовался дважды. Однако теперь различие между ними передавалось исключительно рассто-янием между ними, то есть выделением относительной позиции двух знаков (рис. 10). Так родилась позиционная система месопотамских математиков. Она была шестидесятеричной, и жители Месопотамии выбрали именно ее из большого разнообразия систем, которыми они располагали.

    Таким образом, появление в Месопотамии шестидесятеричной позиционной системы никак не было связано ни с психологическими особенностями шумеров и аккадцев, ни с мистическими и религиозными ритуалами, ни со сложными математическими критериями делимости. Скорее всего, экономические и социальные нужды все более крепнущего централизованного государства, существовавшего на протяжении тысячелетия, подтолкнули к взаимодействию два одновременно протекавших процесса — последовательный переход к числам, взятым из одной метрологической системы, и клинонизации письма, следствием которой стала опасность одинакового написания разных чисел. Итогом этого взаимодействия было формирование системы чисел, которая практиковалась в Месопотамии в течение последующих 2 тыс. лет. Как мы уже видели, исключительное предпочтение, отдававшееся одной определенной метрологической системе с характерным для нее подбором относительных значений величин, способствовало появлению шестидесятеричной системы, а причиной формирования позиционной записи стала клинопись.

    Однако самым важным следствием этих двух процессов стало одно непредвиденное обстоятельство. Одни и те же числовые знаки могли теперь использоваться и использовались для написания чисел при расчетах во всех метрологических системах. Новая система не была привязана ни к одному из традиционных способов счета; числа стали свободными, и произошло окончательное отделение числа от системы измерения. Конец третьего тысячелетия до н. э. стал свидетелем рождения понятия числа, отвлеченного от конкретной единицы измерения.


    == END